Анализ Фурье является неотъемлемой частью формирования гармонических рядов. Благодаря применению синусоидальных функций анализ Фурье может быть использован для разбиения гармонического ряда на его самые основные компоненты.
Удаление, обнаружение и преобразование формы сигнала
Большая часть ценности этих анализов проистекает из удобства, которое они обеспечивают; это особенно относится к концепции составных сигналов. Когда дело доходит до сложных сигналов, процессы удаления и обнаружения могут быть сложными без правильных процессов.
Благодаря целенаправленному преобразованию анализ Фурье может значительно упростить процесс обнаружения и удаления за счет организованной концентрации. Преобразования Фурье могут выполняться различными способами, включая обработку изображений, выравнивание, взаимную корреляцию и цифровой радиоприем.
Ряды Фурье и периодическое суммирование
Разновидности анализа Фурье включают в себя ряды Фурье. Поскольку существует бесконечное множество различных синусоид, которые могут быть связаны с соединением гармонических рядов, ряд Фурье может представлять их значительно более организованным образом, чем обычно; эта новая организация известна как периодическое суммирование.
Периодическое суммирование является сходящимся по своей природе. Каждый из коэффициентов в периодическом суммировании содержит другую составляющую функции непрерывного времени. Обычно используемое название для этого периодического суммирования — DTFT, также называемое преобразованием Фурье. На каждой частотной составляющей, которую составляют преобразование Фурье и DTFT, преобразования становятся расходящимися. С помощью функций дельты Дирака и гребня направления этим возможным расхождением можно управлять организованным образом.
Межцикловое различие
Поскольку циклы Фурье обычно неотличимы друг от друга, одна и та же карта информации может быть получена из нескольких циклов периодических функций. Благодаря изучению гармонического анализа обобщение дисперсии делает возможным более высокий уровень межциклового различия. Обобщая дисперсию Фурье таким образом, то, что ранее могло быть явно групповыми функциями, может быть применено к двойным группам.
В процессе преобразования Фурье каждая передача происходит внутри абелевой топологической группы. Каждая из абелевых топологических групп, в которых происходят эти передачи, локально компактна.
Происхождение термина
В самых общих чертах этот метод анализа можно описать как способ упрощения функций. Метод анализа был назван в честь Джозефа Фурье, чей вклад в математику заключался в значительном упрощении функционального анализа и построения функций с помощью тригонометрии.
Фурье обнаружил, что, когда функция представлена как конечный результат множества тригонометрических функций (многие из которых в противном случае могли бы быть упущены из виду), теплопередачу можно значительно упростить в обработке и вычислении.
Заключение
В контексте своего современного применения эта форма анализа занимает очень важное место в инженерной науке. Помимо инженерии, функциональный анализ с помощью метода Фурье также является неотъемлемой частью широкого спектра различных математических дисциплин.
Проникновение аналитического метода Фурье настолько значительно, что этот термин обычно используется для описания процесса разбиения любых функций на более мелкие компоненты. В более широком смысле процесс использования различных компонентов в качестве частей для перестройки функции в ее коллективную форму известен как синтез Фурье.